Bài tập 3, § 6

Nhóm Lie và đại số Lie, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho K là một vành giao hoán, E là một K-môđun tự do có cơ sở $(e_1, \ldots, e_l)$ , và $f_1, \ldots, f_l$ là các phần tử của đối ngẫu của E. Đặt $a_{ij} = f_i(e_j)$ . Nếu $1 \leq i \leq l$ , gọi $s_i$ là giả phản xạ $s_{e_i, f_i}$ (§ 2, Bài tập 1). Khi đó

s_i(e_j) = e_j - a_{ij} e_i.

Đặt $c = s_1 \ldots s_l$ , và $z_i = c(e_i)$ .

a) Với $1 \leq i, k \leq l$ , đặt

y_i^k = s_1 \ldots s_k(e_i) \quad \text{và} \quad y_i = s_1 \ldots s_{i-1}(e_i) = y_i^{i-1}.

Do đó $y_i^0 = e_i$ và $y_i^l = z_i$ .

Chứng minh rằng

y_i^{k-1} - y_i^k = a_{ki} y_k.

Suy ra các công thức

c_i = y_i + \sum_{k < i} a_{ki} y_k

z_i = y_i - \sum_{k \geq i} a_{ki} y_k.

b) Gọi C là ma trận của $c$ đối với cơ sở $(e_i)$ . Gọi $U = (u_{ij})$ và $V = (v_{ij})$ là các ma trận được xác định bởi

u_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & \text{nếu } i < j \\ 0 & \text{nếu không,} \end{cases} \quad v_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{nếu } i < j \\ a_{ij} & \text{nếu không.} \end{cases}

Ma trận $I + U$ khả nghịch với định thức bằng 1. Chứng minh rằng

C = (I - V)(I + U)^{-1}.

Suy ra rằng

\det(\lambda I - C) = \det((\lambda - 1)I + V + \lambda U),

nói cách khác

\det(\lambda I - C) = \left| \begin{array}{cccccc} (\lambda - 1) + a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \cdots & \lambda a_{1l} \\ a_{21} & \lambda(\lambda - 1) + a_{22} & \lambda a_{23} & \cdots & \lambda a_{2l} \\ a_{31} & a_{32} & (\lambda - 1) + a_{33} & \cdots & \lambda a_{3l} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & a_{l3} & \cdots & (\lambda - 1) + a_{ll} \end{array} \right|.

c) Gọi $\Gamma = (I, S)$ là đồ thị mà tập đỉnh là $I = [1, l]$ và tập $S$ các cạnh là tập hợp các tập con $\{i, j\}$ của $I$ có 2 phần tử sao cho $a_{ij} \neq 0$ hoặc $a_{ji} \neq 0$ . Nếu $\alpha = \{i, j\}$ thuộc $S$ , ký hiệu bởi $\sigma_\alpha$ phép hoán vị đổi chỗ của $i$ và $j$ (xét như một phần tử của nhóm đối xứng $S_I$ ), và đặt $a_\alpha = -a_{ij}a_{ji}$ .

Gọi $\mathscr{B}$ là tập hợp các tập con của $S$ gồm các cạnh có các đỉnh rời nhau. Nếu $X \in \mathscr{B}$ , ký hiệu bởi $C(X)$ tập hợp các $i \in I$ không là đỉnh của bất kỳ cạnh nào của $X$ , và đặt $\sigma_X = \prod_{\alpha \in X} \sigma_\alpha, a_X = \prod_{\alpha \in X} a_\alpha$ .

Gọi $\sigma \in S_I$ , và gọi $d_\sigma$ là số hạng tương ứng với $\sigma$ trong khai triển của định thức của $(\lambda - 1)I + V + \lambda U$ . Chứng minh rằng, nếu $\sigma$ có dạng $\sigma_X$ , với $X \in \mathscr{B}$ , thì

d_\sigma = a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

Bây giờ giả sử rằng $\Gamma$ là một rừng (Chương IV, Phụ lục, no. 3). Chứng minh rằng, nếu $\sigma \in S_l$ không có dạng $\sigma_X$ với $X \in \mathscr{B}$ , thì $d_\sigma = 0$ . Suy ra công thức

\det(\lambda - c) = \sum_{X \in \mathscr{B}} a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

d) Xét đa thức

P(X) = \left| \begin{array}{cccc} X & a_{12} & \ldots & a_{1l} \\ a_{21} & X & \ldots & a_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \ldots & X \end{array} \right|.

Vào các giả thiết trong c), thêm giả thiết rằng $a_{ii} = 1$ với mọi $i$ . Hãy chứng minh rằng trong trường hợp đó

\det(\lambda^2 - c) = \lambda^l P(\lambda + \lambda^{-1}).

BÀI TẬP

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.