Exercice 21, § 1

Soient R un système de racines et B une base de R. Soient $\alpha, \beta \in B$ et $w \in W(R)$ tels que $\beta = w(\alpha)$. Montrer qu’il existe une suite $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ d’éléments de R et une suite $w_1, \ldots, w_{n-1}$ d’éléments de $W(R)$ tels que : (i) $\alpha_1 = \alpha, \quad \alpha_n = \beta$. (ii) $w = w_{n-1} \cdots w_1$. (iii) $w_i(\alpha_i) = \alpha_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq n-1$.

(iv) Pour tout $i \in \{1, n-1\}$, il existe $\beta_i \in B$ tel que $w_i$ appartienne au sous-groupe de W engendré par les réflexions $s_{\alpha_i}$ et $s_{\beta_i}$.