Exercice 22, § 1

Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 33 du n° 11, on désigne par $\varpi_1, \ldots, \varpi_l$ les poids fondamentaux de R.

a) Montrer que $c^{-1}(\varpi_i) = \varpi_i - \theta_i$. En déduire que $1 - c$ applique $P(R)$ sur $Q(R)$.

b) Soit $f$ l’indice de connexion de R, et soient $m_1, \ldots, m_l$ les exposants de $W(R)$. Montrer que l’on a :

avec $w = e^{2 \pi i / h}$.

c) Soit $p$ un nombre premier. Écrivons $h$ sous la forme $h = p^a H$, avec $H$ non divisible par $p$. Montrer que, pour que $p$ divise $f$, il faut et il suffit que $H$ divise l’un des $m_j$ (*).