Exercice 23, § 1

Soit $R$ un système de racines réduit, et soit $X$ une partie de $P(R)$. On dit que $X$ est saturée si la condition suivante est vérifiée : (S) Quels que soient $p \in X$, $\alpha \in R$, et $i \in \mathbf{Z}$ tels que $i$ soit compris entre 0 et $\langle p, \alpha^\vee \rangle$, on a $p - i \alpha \in X$.

a) Montrer que toute partie saturée est stable par le groupe de Weyl $W$ de $R$.

b) Montrer que, pour toute partie $A$ de $P(R)$, il existe une plus petite partie saturée $S(A)$ de $P(R)$ contenant $A$.

c) Soit $C$ une chambre de $R$, et soit $p \in P(R) \cap \overline{C}$ un poids dominant. Soit $S(p)$ la plus petite partie saturée de $P(R)$ contenant $p$. Soit $\Sigma(p)$ l’ensemble des éléments $p' \in P(R)$ tels que :

(i) $p' \equiv p \mod Q(R)$.

(ii) Pour tout $w \in W$, on a $w(p') \leq p$ (au sens de la relation d’ordre définie par $C$). Montrer que $\Sigma(p)$ est fini, contient $p$, et est saturé. En conclure que $S(p)$ est contenu dans $\Sigma(p)$.

d) Montrer que, si $\alpha$ est un élément de $R$ de longueur maximum, on a $S(\alpha) = R \cup \{0\}$.