Bài tập 23, § 1

Cho $R$ là một hệ căn rút gọn, và cho $X$ là một tập con của $P(R)$. Nói rằng $X$ là bão hòa nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

(S) Với mọi $p \in X, \alpha \in R$ và $i \in \mathbf{Z}$ sao cho $i$ nằm giữa 0 và $\langle p, \alpha^\vee \rangle$, ta có $p - i \alpha \in X$.

a) Chứng minh rằng mọi tập con bão hòa đều ổn định dưới nhóm Weyl $W$ của $R$.

b) Chứng minh rằng, với mọi tập con $A$ của $P(R)$, tồn tại một tập con bão hòa nhỏ nhất $S(A)$ của $P(R)$ chứa $A$.

c) Cho $C$ là một buồng của $R$, và cho $p \in P(R) \cap \overline{C}$ là một trọng số trội. Cho $S(p)$ là tập con bão hòa nhỏ nhất của $P(R)$ chứa $p$. Cho $\Sigma(p)$ là tập hợp các phần tử $p' \in P(R)$ sao cho

(i) $p \equiv p' \mod Q(R)$.

(ii) Với mọi $w \in W$, $w(p') \leq w$ (đối với quan hệ thứ tự được xác định bởi $C$).

Chứng minh rằng $\Sigma(p)$ là hữu hạn, chứa $p$, và là bão hòa. Kết luận rằng $S(p)$ được chứa trong $\Sigma(p)$.

d) Chứng minh rằng, nếu $\alpha$ là một phần tử dài nhất của $R$, thì $S(\alpha) = R \cup \{0\}$.