Exercice 4, § 1

Soient $\Gamma$ un $\mathbf{Z}$-module libre de rang fini $l$, $\Gamma^*$ le $\mathbf{Z}$-module dual, I un ensemble fini d’indices, $(x_i, x_i^*)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $\Gamma \times \Gamma^*$ telle que $\langle x_i, x_i^* \rangle = 2$ pour tout $i \in I$, $s_i = s_{x_i, x_i^*}$. Soit V l’espace vectoriel réel $\Gamma \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$, dont le dual $V^*$ s’identifie à $\Gamma^* \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$. Notons encore $s_i$ la réflexion $s_i \otimes 1$ dans V. Soit R (resp. R’) l’ensemble des $x_i$ (resp. $x_i^*$). Soit E (resp. E’) le sous-espace de V (resp. $V^*$) engendré par R (resp. R’). Supposons que $s_i(R) = R$ pour tout i. Alors R est un système de racines dans E, E’ s’identifie canoniquement au dual de E et $x_i^*$ à $x_i^\vee$ pour tout i. Si F (resp. F’) est le sous-espace de V (resp. $V^*$) formé des points invariants par tous les $s_i$ (resp. $s_i^*$), alors $\Gamma \cap F$ (resp. $\Gamma^* \cap F'$) engendre F (resp. F’). Si l’on pose $\Gamma_1 = (\Gamma \cap E) \oplus (\Gamma \cap F)$ (resp. $\Gamma_1^* = (\Gamma^* \cap E') \oplus (\Gamma^* \cap F')$), $\Gamma/\Gamma_1$ et $\Gamma^*/\Gamma_1^*$ sont des groupes finis isomorphes.