Bài tập 4, § 1

Cho $\Gamma$ là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do hạng hữu hạn l, $\Gamma^*$ là $\mathbf{Z}$-môđun đối ngẫu, I là một tập hợp hữu hạn các chỉ số, $(x_i, x_i^*)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $\Gamma \times \Gamma^*$ sao cho $\langle x_i, x_i^* \rangle = 2$ với mọi $i \in I$, $s_i = s_{x_i, x_i^*}$. Gọi V là không gian vectơ thực $\Gamma \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$, có đối ngẫu $V^*$ có thể được đồng nhất với $\Gamma^* \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$. Ta cũng ký hiệu $s_i$ là phép phản xạ $s_i \otimes 1$ trong V. Gọi R (tương ứng với $R'$) là tập hợp các $x_i$ (tương ứng với $x_i^*$). Gọi E (tương ứng với $E'$) là không gian con của V (tương ứng với $V^*$) sinh bởi R (tương ứng với $R'$). Giả sử rằng $s_i(R) = R$ với mọi i. Khi đó, R là một hệ nghiệm trong E. $E'$ được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu của E và $x_i^*$ với $x_i^-$ với mọi i. Nếu F (tương ứng với $F'$) là không gian con của V (tương ứng với $V^*$) gồm các điểm bất biến đối với tất cả các $s_i$ (tương ứng với ${}^t s_i$), thì $\Gamma \cap F$ (tương ứng với $\Gamma^* \cap F'$) sinh F (tương ứng với $F'$). Nếu ta đặt $\Gamma_1 = (\Gamma \cap E) \oplus (\Gamma \cap F)$ (tương ứng với $\Gamma_1^* = (\Gamma^* \cap E') \oplus (\Gamma^* \cap F')$), thì $\Gamma / \Gamma_1$ và $\Gamma^* / \Gamma_1^*$ là các nhóm hữu hạn đẳng cấu.