Exercice 5, § 4

Soient $R$ un système de racines, et $P'(R)$ le sous-groupe de $P(R)$ introduit au $§ 1$, exerc. 8. Montrer que $P'(R) = P(R)$ si $R$ est de type $A_l$ avec $l$ pair, ou $B_l$ avec $l \equiv 0, 3 \pmod{4}$, ou $D_l$ avec $l \equiv 0, 1 \pmod{4}$, ou $G_2$, ou $F_4$, ou $E_6$, ou $E_8$. Montrer que $P'(R) = Q(R)$ si $R$ est de type $C_l$, ou $B_l$ avec $l \equiv 1, 2 \pmod{4}$, ou $E_7$, ou $A_1$. Si $R$ est de type $A_l$ avec $l$ impair $> 1$, $P'(R)/Q(R)$ est l’unique sous-groupe d’indice 2 du groupe cyclique $P(R)/Q(R)$. Si $R$ est de type $D_l$ avec $l \equiv 2, 3 \pmod{4}$, $P'(R)/Q(R)$ est l’unique sous-groupe d’ordre 2 de $P(R)/Q(R)$ stable par $A(R)$.