Exercice 3, Annexe 1

On suppose $k$ algébriquement clos. Soient $A$ et $B$ deux parties fermées de $V$, et $a$ (resp. $b$) l’ensemble des $f \in A_V$ qui s’annulent sur $A$ (resp. $B$). Prouver l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $A \cap B = \emptyset$. (ii) $a + b = A_V$. (iii) Il existe une fonction polynomiale $f$ sur $V$ qui est égale à 1 sur $A$ et à 0 sur $B$. (Utiliser le théorème des zéros de Hilbert (AC, V, § 3, no 3) pour prouver que (i) $\Rightarrow$ (ii).)