Bài tập 3, Phụ lục 1

Giả sử $k$ là đóng đại số. Cho A và B là hai tập hợp đóng của V, và $\mathfrak{a}$ (resp. $\mathfrak{b}$) là tập hợp các $f\in A_V$ triệt tiêu trên A (resp. B). Chứng minh tính tương đương của các tính chất sau:

(i) $A\cap B =\emptyset$.

(ii) $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}= A_V$.

(iii) Tồn tại một hàm đa thức $f$ trên V bằng 1 trên A và bằng 0 trên B.

(Sử dụng định lý các không điểm của Hilbert (Đại số giao hoán, Chương V, §3, no. 3) để chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (ii).)