Exercice 11, § 1

Soient $h$ une algèbre de Lie nilpotente, $V$ un $h$-module non réduit à 0, et $\lambda$ une fonction sur $h$ telle que $V = V^\lambda(h)$. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $\lambda$ est une forme linéaire sur $h$, nulle sur $[h, h]$.

(ii) Il existe une base de V par rapport à laquelle les endomorphismes définis par les éléments de $\mathfrak{h}$ sont triangulaires. (Pour prouver que (i) $\Rightarrow$ (ii), appliquer le théorème d’Engel au $\mathfrak{h}$-module $\mathscr{L}(W_\lambda, V)$, où W est le $\mathfrak{h}$-module de dimension 1 défini par $\lambda$.) Les propriétés (i) et (ii) sont vraies si $k$ est de caractéristique 0 (prop. 9).