Bài tập 11, § 1

Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số Lie lũy linh, V một $\mathfrak{h}$-môđun không thu về 0, và $\lambda$ một hàm trên $\mathfrak{h}$ sao cho $V = V^{\lambda}(\mathfrak{h})$. Hãy chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $\lambda$ là một dạng tuyến tính trên $\mathfrak{h}$, bằng không trên $[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]$.

(ii) Tồn tại một cơ sở của V mà đối với cơ sở đó các nội cấu xác định bởi các phần tử của $\mathfrak{h}$ là tam giác.

(Để chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (ii), hãy áp dụng định lý Engel cho $\mathfrak{h}$-môđun $\mathscr{L}(W_{\lambda},V)$, trong đó W là $\mathfrak{h}$-môđun 1-chiều được xác định bởi $\lambda .$)

Các tính chất (i) và (ii) là đúng nếu $k$ có đặc số 0 (Mệnh đề 9).