Exercice 5, § 1

On suppose k infini. Soient g une algèbre de Lie et V un g-module. Si n est un entier $\geq 0$, on note $V_n$ l'ensemble des $v \in V$ tels que $x^n v = 0$ pour tout $x \in g$. a) Montrer que, si $v \in V_n$, $x, y \in g$, on a

(Utiliser le fait que $(x + ty)^n v = 0$ pour tout $t \in k$.) Remplaçant y par $[x, y]$ dans cette formule, en déduire¹ que $(x^n y - y x^n) v = 0$, d'où $x^n y v = 0$. b) Montrer que $V_n$ est un sous-g-module de V (utiliser a)). En particulier $V^0(g) = \bigcup_n V_n$ est un sous-g-module de V.

¹ Cette démonstration nous a été communiquée par G. SELIGMAN.

c) On suppose que $k = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, et on note $G$ un groupe de Lie simplement connexe d’algèbre de Lie $g$; l’action de $g$ sur $V$ définit une loi d’opération de $G$ sur $V$ (III, § 6, n° 1). Montrer qu’un élément $v \in V$ appartient à $V_n$ si et seulement si $(s - 1)^n v = 0$ pour tout $s \in G$; en particulier on a $V^0(g) = V^1(G)$.