Bài tập 5, § 1

Giả sử rằng $k$ là vô hạn. Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie và V là một $\mathfrak{g}$-môđun. Nếu $n$ là một số nguyên $\geq 0$, ký hiệu $V_n$ là tập hợp các $v\in V$ sao cho $x^nv= 0$ với mọi $x\in \mathfrak{g}$.

a) Chứng minh rằng, nếu $v\in V_n,x, y\in \mathfrak{g}$, thì

(Dùng việc rằng $(x+ty)^nv= 0$ với mọi $t\in k.$)

Thay thế $y$ bởi $[x, y]$ trong công thức này, suy ra$^3$ rằng $(x^ny-yx^n)v= 0$, và do đó rằng $x^nyv= 0$.

b) Chứng minh rằng $V_n$ là một $\mathfrak{g}$-môđun con của V (dùng $a$)$)$. Đặc biệt $V^0(\mathfrak{g}) =\bigcup_nV_n$ là một $\mathfrak{g}$-môđun con của V.

c) Giả sử rằng $k=\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, và ký hiệu bởi G một nhóm Lie liên thông đơn với đại số Lie $\mathfrak{g}$; tác động của $\mathfrak{g}$ trên V xác định một luật phép toán của G trên V (Chương III, §6, no. 1). Chứng minh rằng một phần tử $v\in V$ thuộc $V_n$ khi và chỉ khi $(s-1)^nv= 0$ với mọi $s\in G$; đặc biệt $V^0(\mathfrak{g}) = V^1(G)$.