Exercice 8, § 1

On suppose $k$ de caractéristique $p > 0$. Soit $g$ une algèbre de Lie sur $k$ de base $\{e_1, \ldots, e_n\}$. On note $U$ l’algèbre enveloppante de $g$ et $C$ le centre de $U$. Pour $i = 1, \ldots, n$ on choisit un $p$-polynôme $f_i$ non nul, de degré $d_i$, tel que $f_i(\mathrm{ad}\, e_i) = 0$; on a alors $f_i(e_i) \in C$, cf. I, § 7, exerc. 5. On pose $z_i = f_i(e_i)$. a) Montrer que $z_1, \ldots, z_n$ sont algébriquement indépendants. Si $A = k[z_1, \ldots, z_n]$, montrer que $U$ est un $A$-module libre de base les monômes $e_1^{\alpha_1} \ldots e_n^{\alpha_n}$, où $0 \leq \alpha_i < d_i$. [Utiliser le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt]. Le rang $[U:A]$ de $U$ sur $A$ est égal à $d_1 \ldots d_n$; c’est une puissance de $p$. En déduire que $C$ est un $A$-module de type fini, donc une $k$-algèbre de type fini et de dimension $n$ (AC, VIII). b) Soit $K$ le corps des fractions de $A$, et soient

On a $U_{(K)} \supset C_{(K)} \supset K$. Montrer que $U_{(K)}$ est un corps de centre $C_{(K)}$, et que c’est le corps des quotients (à gauche comme à droite) de $U$, cf. I, § 2, exerc. 10. En déduire que $[U_{(K)}:C_{(K)}]$ est de la forme $q^2$, où $q$ est une puissance de $p$; on a $[C_{(K)}:K] = q_C$, où $q_C$ est une puissance de $p$, et $[U:A] = q_C q^2$. c) Soit $d$ un élément non nul de $A$, et soit $\Lambda$ un sous-anneau de $U_{(K)}$ tel que $U \subset \Lambda \subset d^{-1}U$. Montrer que $\Lambda = U$. [Si $x = b/a, a \in A - \{0\}$, est un élément de $\Lambda$, on montrera par récurrence sur $m$ que la relation $b \in U a + U_m$ entraîne $b \in U a + U_{m-1}$, où $\{U_m\}$ est la filtration canonique de $U$. (Utiliser pour cela le fait que gr $U$ est intégralement clos, et raisonner comme dans la prop. 15 de AC, V, § 1, n° 4.) Pour $m = 0$, cela donne $b \in U a$, i.e. $x \in U$.] En déduire que $C$ est intégralement clos.

¹ Pour plus de détails, cf. J. Dixmier, Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes, Acta Sci. Math. Szeged, t. XVI (1955), p. 246–250.

d) On suppose k algébriquement clos. Soient $\rho : g \to gl(V)$ une représentation linéaire irréductible de $g$ et $\rho_U$ la représentation correspondante de $U$. La restriction de $\rho_U$ à $C$ est un homomorphisme $\gamma_\rho$ de $C$ dans $k$ (identifié aux homothéties de $V$) ; soit $\alpha_\rho$ sa restriction à $A$. Montrer que pour tout homomorphisme $\alpha$ (resp. $\gamma$) de la $k$-algèbre $A$ (resp. $C$) dans $k$, il existe au moins une représentation irréductible $\rho$ de $g$ telle que $\alpha_\rho = \alpha$ (resp. $\gamma_\rho = \gamma$) et que ces représentations sont en nombre fini (à équivalence près). Montrer que $\dim V \leq q$, avec les notations de $b$.\footnote{Pour plus de détails, cf. H. Zassenhaus, The representations of Lie algebras of prime characteristic, Proc. Glasgow Math. Assoc., t. II (1954), p. 1–36.}