Bài tập 8, § 1

Giả sử rằng $k$ có đặc số $p >0$. Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie trên $k$ với cơ sở $(e_1, . . . , e_n)$. Ký hiệu bởi U đại số bao của $\mathfrak{g}$ và bởi C tâm của U. Với $i= 1, . . . , n$, chọn một $p$-đa thức khác không $f_i$, bậc $d_i$, sao cho $f_i$(ad $e_i$) $= 0$; khi đó $f_i(e_i)\in C$, xem Chương I, §7, Bài tập 5. Đặt $z_i=f_i(e_i)$.

a) Chứng minh rằng $z_1, . . . , z_n$ độc lập đại số. Nếu $A =k[z_1, . . . , z_n]$, chứng minh rằng U là một A-môđun tự do với cơ sở là các đơn thức $e^{\alpha_1}_1. . . e^{\alpha_n}_n$, trong đó $0\leq \alpha_i\leq d_i$. (Dùng định lý Poincaré-Birkhoff-Witt.) Hạng [U : A] của U trên A bằng $d_1. . . d_n$; nó là một lũy thừa của $p$. Suy ra rằng C là một A-môđun hữu hạn kiểu, do đó là một $k$-đại số hữu hạn kiểu và có chiều $n$ (Đại số giao hoán, Chương VIII).

b) Cho K là trường phân thức của A, và đặt

Khi đó $U_{(K)}\supset C_{(K)}\supset K$. Chứng minh rằng $U_{(K)}$ là một trường với tâm là $C_{(K)}$, và rằng đó là trường thương (cả trái lẫn phải) của U, xem Chương I, §2, Bài tập 10. Suy ra rằng $[U_{(K)}: C_{(K)}]$ có dạng $q^2$, trong đó $q$ là một lũy thừa của $p$; ta có $[C_{(K)}: K] =q_C$, trong đó $q_C$ là một lũy thừa của $p$, và $[U : A] =q_Cq^2$.

c) Cho $d$ là một phần tử khác không của A, và cho $\Lambda$ là một vành con của $U_{(K)}$ sao cho $U\subset \Lambda \subset d^{-1}U$. Chứng minh rằng $\Lambda = U$. [Nếu $x=b/a,a\in A$ -- $\{0\}$, là một phần tử của $\Lambda$, chứng minh bằng quy nạp theo $m$ rằng quan hệ $b\in Ua+ U_m$ kéo theo $b\in Ua+ U_{m-1}$, trong đó $\{U_m\}$ là lọc chính tắc của U. (Để làm việc này, dùng việc rằng gr U là đóng nguyên, và lập luận như trong Mệnh đề 15 của Đại số giao hoán, Chương V, §1, no. 4.) Với $m= 0$, điều này cho $b\in Ua$, tức là $x\in U$.]

Suy ra rằng C là đóng nguyên.

d) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Cho $\rho :\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ là một biểu diễn tuyến tính bất khả quy của $\mathfrak{g}$ và $\rho_U$ là biểu diễn tương ứng của U. Hạn chế của $\rho_U$ lên C là một đồng cấu $\gamma_{\rho}$ từ C vào $k$ (đồng nhất với các phép vị tự của V); gọi $\alpha_{\rho}$ là hạn chế của nó lên A. Hãy chỉ ra rằng với mọi đồng cấu $\alpha$ (tương ứng $\gamma$ ) từ $k$-đại số A (tương ứng C) vào $k$, tồn tại ít nhất một biểu diễn bất khả quy $\rho$ của $\mathfrak{g}$ sao cho $\alpha_{\rho}=\alpha$ (tương ứng $\gamma_{\rho}=\gamma$ ) và chỉ có hữu hạn biểu diễn như thế (xét đến tương đương). Hãy chỉ ra rằng số chiều của V thỏa mãn $V\leq q$, với ký hiệu của $b).^5$

$^4$ Để biết thêm chi tiết, xem J. DIXMIER, Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes,

Acta Sci. Math. Szeged, Vol. XVI (1955), pp. 246-250.

$^5$ Để biết thêm chi tiết, xem H. ZASSENHAUS, The representations of Lie algebras of

đặc số nguyên tố, Proc. Glasgow Math. Assoc., Vol. II (1954), pp. 1-36.