Exercice 10, § 2

On suppose $k$ infini. Soit $g$ une algèbre de Lie. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $\mathrm{rg}(g) = \dim(g)$. (ii) $g$ est nilpotente.

(iii) $g$ ne possède qu’un nombre fini de sous-algèbres de Cartan de dimension $\mathrm{rg}(g)$. (iv) $g$ ne possède qu’une seule sous-algèbre de Cartan.