Exercice 11, § 2

Soient $h$ une algèbre de Lie commutative $\neq 0$, $P$ une partie finie de $h^*$ contenant $0$. Montrer qu’il existe une algèbre de Lie $g$ contenant $h$ comme sous-algèbre de Cartan, et telle que l’ensemble des poids de $h$ dans $g$ soit $P$. (Construire $g$ comme produit semi-direct de $h$ par un $h$-module $V$, somme directe de modules de dimension 1 correspondant aux éléments de $P - \{0\}$, cf. exerc. 7.) Pour qu’un élément $x$ de $h$ soit tel que $h = g^0(x)$, il faut et il suffit que $x$ ne soit orthogonal à aucun élément de $P - \{0\}$.