Exercice 15, § 2

On suppose $k$ infini. Soient $g$ une algèbre de Lie, $\mathscr{C}_\infty g$ la réunion de la série centrale ascendante de $g$, et $x$ un élément de $g$. Démontrer l’équivalence des propriétés suivantes: (i) $x$ appartient à toute sous-algèbre de Cartan de $g$. (ii) $x \in g^0(y)$ pour tout $y \in g$ (i.e. $x \in g^0(g)$). (iii) $x \in \mathscr{C}_\infty g$. (Les implications (iii) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (i) sont immédiates. Pour prouver que (i) $\Rightarrow$ (ii), remarquer que (i) équivaut à dire que $x \in g^0(y)$ pour tout élément $y$ régulier dans $g$, et utiliser le fait que les éléments réguliers sont denses dans $g$ pour la topologie de Zariski. Pour prouver que (ii) $\Rightarrow$ (iii), observer que $n = g^0(g)$ est stable par $g$ (§ 1, exerc. 5) et appliquer le th. d’Engel au $g$-module $n$; en déduire que $n$ est contenu dans $\mathscr{C}_\infty g$.)