Bài tập 15, § 2

Giả sử rằng $k$ là vô hạn. Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathscr{C}_{\infty}\mathfrak{g}$ là hợp của chuỗi trung tâm tăng của $\mathfrak{g}$, và $x$ là một phần tử của $\mathfrak{g}$. Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(i) $x$ thuộc mọi đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$.

(ii) $x\in \mathfrak{g}^0(y)$ với mọi $y\in \mathfrak{g}$ (tức là $x\in \mathfrak{g}^0(\mathfrak{g})$).

(iii) $x\in \mathscr{C}_{\infty}\mathfrak{g}$.

(Các suy ra (iii) $=\Rightarrow$(ii) $=\Rightarrow$(i) là ngay lập tức. Để chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$(ii), nhận xét rằng (i) tương đương với việc nói rằng $x\in \mathfrak{g}^0(y)$ với mọi phần tử chính quy $y$ trong $\mathfrak{g}$, và dùng sự kiện là các phần tử chính quy trù mật trong $\mathfrak{g}$ đối với tôpô Zariski. Để chứng minh rằng (ii) $=\Rightarrow$ (iii), hãy quan sát rằng $\mathfrak{n}=\mathfrak{g}^0(\mathfrak{g})$ ổn định dưới $\mathfrak{g}($§1, Bài tập 5) và áp dụng định lý Engel cho $\mathfrak{g}$-môđun $\mathfrak{n}$; suy ra rằng $\mathfrak{n}$ được chứa trong $\mathscr{L}_{\infty}\mathfrak{g}.)$