Exercice 7, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie et $g'$ une sous-algèbre de $g$ réductive dans $g$. Soit $a$ une sous-algèbre de Cartan de $g'$. Montrer qu’il existe une sous-algèbre de Cartan de $g$ qui contient $a$ (utiliser la prop. 10 du § 2). En déduire que $\mathrm{rg}(g') \leq \mathrm{rg}(g)$ et qu’il y a égalité si et seulement si $g'$ possède les propriétés (i), (ii), (iii) de la prop. 3.