Exercice 1, § 2

Soient X un espace topologique, $Y = X\times \{0,1\}$ et soit R une relation d’équivalence sur Y compatible avec sa structure naturelle de X-espace. On note $f: Y/R\rightarrow X$ l’application canonique. Soit A l’ensemble des $x\in X$ tels que $(x,0)$ et $(x,1)$ soient équivalents.

a) Montrer que $f$ est séparée si et seulement si A est fermé dans X.

b) Montrer que toutes les fibres de $f$ sont des espaces topologiques séparés (cf. I, p. 26, remarque 2).