Exercice 5, § 2

Soit U un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbf{C}^n$ et soient $f_1, . . . , f_n$ des applications analytiques de U dans $\mathbf{C}$. Soit $f: U\rightarrow \mathbf{C}^n$ l’application donnée par $x\mapsto (f_1(x), . . . , f_n(x))$, soit $J_f: U\rightarrow \mathbf{M}_n(\mathbf{C})$ l’application $x\mapsto (\partial_if_j(x))$ et soit $h=$ det$\circ J_f$.

a) Démontrer par récurrence sur $n$ que $J_f$ est nulle en tout point de $\overset{-1}{h}(0)$. b) On suppose que $f$ est injective ; démontrer que $h$ ne s’annule pas.