Exercice 2, § 5

Soit B un espace topologique. Soit $(X, q)$ un B-espace fibré localement trivial et soit $(E, p)$ un espace fibré principal de base B et de groupe G.

a) On suppose qu’il existe une trivialisation $\mu: E\times F\rightarrow E\times_BX$ du E-espace fibré localement trivial $E\times_BX$ qui est compatible aux opérations de G à droite définies par $(x, f)\cdot g= (x\cdot g, g^{-1}\cdot f)$ et $(x, y)g= (x\cdot g, y)$. Démontrer que l’espace fibré X est associable à E.

b) Plus précisément, construire une bijection entre l’ensemble de ces trivialisations et l’ensemble des B-isomorphismes de $E\times^GF$ sur X.