Exercice 7, § 1

On suppose que $k$ est un corps algébriquement clos. Pour tout $s\in$ Som(Q), on pose $P(s) =x_sA_Q$.

a) Démontrer que $P(s)$ est un $A_Q$-module projectif et indécomposable, et que son socle est isomorphe au $A_Q$-module $k(s)$. Prouver aussi que $P(s)/P(s)J_Q$ est isomorphe à $k(s)$.

b) On suppose que tout lacet de Q est de longueur nulle. Démontrer que, pour tout $s\in$ Som(Q), l’homomorphisme canonique de $k$ dans End(P($s$)) est un isomorphisme. Démontrer que, pour tout $A_Q$-module P qui est projectif et indécomposable, il existe un unique sommet $s$ de Q tel que P soit isomorphe à $P(s)$.