Exercice 5, § 3

a) Soit $\varphi : G\rightarrow G'$ un morphisme de groupoïdes tel que l’application Som($\varphi$ ) soit injective. Démontrer que $\varphi (G)$ est un sous-groupoïde de $G'$.

b) Soit G un groupoïde non transitif dont l’ensemble de sommets Som(G) est un ensemble $\{a, b\}$ à deux éléments. Soit $G'$ le groupoïde associé au produit libre $G_a*G_b$. Il existe un unique morphisme de groupoïdes $\varphi : G\rightarrow G'$ tel que les applications $\varphi_a$ et $\varphi_b$ soient les applications canoniques de $G_a$ et $G_b$ dans $G_a*G_b$. Si $G_a$ ou $G_b$ n’est pas le groupe trivial, l’image $\varphi (G)$ de ce morphisme de groupoïdes n’est pas un sous-groupoïde de $G'$.