Exercice 1, § 1

Pour tout $\theta \in \mathbf{R}$, soit $C_{\theta}$ le segment du plan d’extrémités $(0,0)$ et (cos(2$\pi \theta$ ), sin(2$\pi \theta$ )); posons

C = $\bigcup C_{\theta}$.

$\theta \in \mathbf{Q}\cap [1/6,1/4]$

a) L’espace C est contractile en 0, mais en aucun autre point.

b) Soit D la réunion des translatés $(0, n) + C$ de C, pour $n\in \mathbf{Z}$. Démontrer que l’espace D est homéotope à un point mais qu’il n’est contractile en aucun de ses points.