Exercice 11, § 1

Soit X un rétracte absolu de voisinage.

a) Démontrer que X est « semi-localement contractile », c’est-à-dire que tout point $x$ de X possède un voisinage V tel que l’injection canonique de $(V, x)$ dans X soit strictement homotope à l’application constante d’image $x$. (Utiliser l’exercice 9.)

b) Soit A un espace topologique compact. Démontrer que les composantes connexes par arcs de l’espace $\mathscr{C}_c(A; X)$ sont ouvertes.

c) Démontrer que X est localement connexe par arcs.