Exercice 2, § 1

Soit B une partie de $\mathbf{R}^n$, soit $a$ un point intérieur à B; notons S la frontière de B. Supposons que B soit étoilée en $a$ et que toute demi-droite d’origine $a$ rencontre S en un point unique. Soit $f:\mathbf{R}_+^*\times S\rightarrow \mathbf{R}^n-\{a\}$ l’application définie par $f(t, y) =ty+ (1-t)a$. Démontrer que $f$ est un homéomorphisme tel que $f(]0,1]\times S) = B-\{a\}$ et $f(\{1\} \times S) = S$.

Ce résultat s’applique notamment lorsque B est un ensemble convexe, fermé et borné de $\mathbf{R}^n$ et $a$ un point adhérent à B (cf. I, p. 123, prop. 2 et EVT, II, p. 15, prop. 16).