Exercice 24, § 1

Soit M un ensemble non dénombrable, soit X l’espace $\mathbf{I}^M$ et soit A le sous-espace $\{0\}^M$ de X.

a) Démontrer que le couple $(X,A)$ a la propriété d’extension des homotopies stationnaires (exerc. 23).

b) Démontrer que le couple $(X,A)$ n’a pas la propriété d’extension des homotopies. (Prouver que l’ensemble A n’est pas l’intersection d’une famille dénombrable d’ouverts.)

c) Démontrer que le couple $(X\times \mathbf{I},X\times \{0\} \cup A\times \mathbf{I})$ n’a pas la propriété d’extension des homotopies stationnaires.