Exercice 4, § 5

Soit L la demi-droite d’Alexandroff (TG, IV, p. 49, exerc. 12) et soit $L^*$ son compactifié d’Alexandroff ; soit $\omega$ l’unique point de $L^*-$ L. Soit A un ensemble ayant au moins deux éléments et soit $a$ un point de A ; on pose $X = L^*\times A$ et Y = X $-\{(\omega , a)\}$.

a) Démontrer que l’injection canonique $j$ de Y dans X est étale, séparée, et possède la propriété de relèvement des chemins.

b) Démontrer que l’application $j$ ne fait pas de Y un revêtement de X.