Exercice 3, § 1

Soit X un espace topologique et soit $x$ un point de X.

Soit $\mathscr{R}$ une catégorie de revêtements de X et $\mathscr{E}$ une catégorie d’ensembles (cf. II, p. 160, exemple 2).

a) On suppose que pour tout revêtement E de X qui est un objet de $\mathscr{R}$, la fibre $E_x$ de E en $x$ est un objet de $\mathscr{E}$; on pose alors $\Phi_x(E) = E_x$. Pour tout morphisme $f: E'\rightarrow E$ de revêtements de B qui sont des objets de $\mathscr{R}$, on note $\Phi_x(f)$ l’application de $E'_x$ dans $E_x$ déduite de $f$ par passage aux sous-ensembles. Démontrer que $\Phi_x$ est un foncteur de la catégorie $\mathscr{R}$ dans la catégorie $\mathscr{E}$. b) Soit $G(x)$ l’ensemble des familles $\varphi = (\varphi_E)$ où, pour tout objet E de $\mathscr{R}$, $\varphi_E$ est une permutation de l’ensemble $\Phi_x(E)$ telle que pour toute flèche $f: E'\rightarrow E$ de $\mathscr{R}$, on ait $f_*\circ \varphi_{E'}=\varphi_E\circ f_*$ (« automorphismes du foncteur $\Phi_x$ ».)

La relation donnée par $\varphi \cdot \psi = (\varphi_E\circ \psi_E)$ pour $\varphi , \psi \in G(x)$ munit l’ensemble $G(x)$ d’une structure de groupe. Pour tout objet E de $\mathscr{R}$, on note $G(x)_E$ l’ensemble des $\varphi \in G(x)$ tels que $\varphi_E=$ Id$_{\Phi_x(E)}$; c’est un sous-groupe de $G(x)$.

c) Démontrer qu’il existe une unique structure de groupe topologique sur $G(x)$ pour laquelle les groupes $G(x)_E$ forment une base de voisinages de l’élément neutre.

d) Soit T un sous-espace simplement connexe de X. Si $x, y$ sont des points de T, les groupes topologiques $G(x)$ et $G(y)$ sont isomorphes.

e) Démontrer que le relèvement des chemins définit un homomorphisme de groupes continu de $\pi_1(X, x)$ vers $G(x)$. Cet homomorphisme n’est pas forcément surjectif (exerc. 1 ; I, p. 146, exerc. 6) ni injectif (exerc. 2). C’est un isomorphisme si X est délaçable et si tout revêtement connexe de X est isomorphe à un objet de $\mathscr{R}$.