Bài tập 3, § 1

Cho X là một không gian tôpô và $x$ là một điểm của X.

Cho $\mathscr{R}$ là một phạm trù các phủ của X và $\mathscr{E}$ là một phạm trù các tập hợp (x. II, p. 160, ví dụ 2).

(a) Giả sử rằng với mọi phủ E của X là một đối tượng của $\mathscr{R}$, thớ $E_x$ của E tại $x$ là một đối tượng của $\mathscr{E}$; khi đó ta đặt $\Phi_x(E) = E_x$. Với mọi cấu xạ $f: E'\rightarrow E$ của các phủ của B là những đối tượng của $\mathscr{R}$, ta ký hiệu bởi $\Phi_x(f)$ ánh xạ từ $E'_x$ vào $E_x$ suy ra từ $f$ bằng cách chuyển qua các tập hợp con. Hãy chứng minh rằng $\Phi_x$ là một hàm tử từ phạm trù $\mathscr{R}$ vào phạm trù $\mathscr{E}$.

(b) Gọi $G(x)$ là tập hợp các họ $\varphi = (\varphi_E)$ mà, với mọi đối tượng E của $\mathscr{R}$, $\varphi_E$ là một phép hoán vị của tập hợp $\Phi_x(E)$ sao cho với mọi mũi tên $f: E'\rightarrow E$ của $\mathscr{R}$, ta có $f_*\circ \varphi_{E'}=\varphi_E\circ f_*$ (« các tự đẳng cấu của hàm tử $\Phi_x$ ».)

Quan hệ cho bởi $\varphi \cdot \psi = (\varphi_E\circ \psi_E)$ với $\varphi , \psi \in G(x)$ trang bị cho tập hợp $G(x)$ một cấu trúc nhóm. Với mọi đối tượng E của $\mathscr{R}$, ta ký hiệu bởi $G(x)_E$ tập hợp các $\varphi \in G(x)$ sao cho $\varphi_E=$ Id$_{\Phi_x(E)}$; đó là một nhóm con của $G(x)$.

(c) Hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cấu trúc nhóm tôpô trên $G(x)$ mà đối với nó các nhóm $G(x)_E$ tạo thành một cơ sở các lân cận của phần tử đơn vị.

(d) Gọi T là một không gian con đơn liên của X. Nếu $x, y$ là các điểm của T, thì các nhóm tôpô $G(x)$ và $G(y)$ đẳng cấu.

(e) Hãy chứng minh rằng phép nâng các đường xác định một đồng cấu nhóm liên tục từ $\pi_1(X, x)$ vào $G(x)$. Đồng cấu này không nhất thiết toàn ánh (bài tập 1 ; I, p. 146, bài tập 6) cũng không nhất thiết đơn ánh (bài tập 2). Nó là một đẳng cấu nếu X liên thông bằng đường và nếu mọi phủ liên thông của X đều đẳng cấu với một đối tượng của $\mathscr{R}$.