Exercice 4, § 3

Soit $n$ un entier naturel. Soit $B_0$ le sous-groupe de $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$ formé des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont tous strictement positifs.

a) Démontrer que l’application de SO($n,\mathbf{R}$)$\times B_0$ dans $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$ donnée par $(g, u)\mapsto g\cdot u$ est un homéomorphisme (cf. INT, VII, p. 91, prop. 7).

b) Démontrer que l’inclusion de SO($n,\mathbf{R}$) dans $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$ induit un isomorphisme entre groupes de Poincaré.