Exercice 6, § 3

Soient G et H des groupes de Lie réels connexes et soit $f: G\rightarrow H$ un morphisme surjectif de groupes de Lie. On note $Z_G$ le centre de G et $Z_H$ celui de H.

a) Démontrer l’équivalence des assertions suivantes : (i) L’application $f$ fait de G un revêtement de H ; (ii) Ker($f$) est discret ; (iii) Le morphisme $L(f): L(G)\rightarrow L(H)$ déduit de $f$ par passage aux algèbres de Lie est un isomorphisme.

b) Démontrer qu’alors $f(Z_G) = Z_H$ et que $f^{-1}(Z_H) = Z_G$.