Exercice 2, § 4

Soit Y un espace topologique obtenu par recollement d’espaces $X_i$; soit X l’espace topologique somme de la famille $(X_i)$ et soit $f: X\rightarrow Y$ l’application canonique (TG, I, p. 16). Pour tout $i$, posons $Y_i=f(X_i)$ et soit $f_i: X_i\rightarrow Y_i$ l’application déduite de $f$ par passage aux sous-espaces. L’application $f_i$ est bijective et continue. Si l’application $f_i$ n’est pas un homéomorphisme, la donnée de descente canonique sur X, relative à $f$, n’est pas effective. Pour un exemple, cf. TG, I, p. 94, exerc. 15.