Exercice 6, § 4

Soit X un espace topologique connexe par arcs, soit G un groupe opérant continûment dans X et soit $x$ un point de X tel que $g\cdot x=x$ pour tout $g\in G$. Notons $p$ l’application canonique de X dans $X/G$. Soit H un groupoïde et soit $\varphi :\varpi (X)\rightarrow H$ un morphisme de groupoïdes. On suppose que pour tout chemin $c$ dans X et tout $g\in G$, on a $\varphi ([g\cdot c]) =\varphi ([c])$, et que pour tout lacet $c\in \Omega_x(X),\varphi ([c]) =e_{\varphi(x)}$.

Soient $c_1$ et $c_2$ des chemins dans X tels que $p\circ c_1$ et $p\circ c_2$ aient même origine et même terme. Démontrer que l’on a $\varphi ([c_1]) =\varphi ([c_2])$.