Exercice 12, § 5

a) Soit D une droite de $\mathbf{R}^3$ et soit $U =\mathbf{R}^3-$ D. Démontrer que U est connexe par arcs et que pour tout point $a\in U$, le groupe $\pi_1(U, a)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$.

b) Soit P un plan de $\mathbf{R}^3$, soit C un cercle contenu dans P et soit $V =\mathbf{R}^3-$ C. Démontrer que V est connexe par arcs et que, pour tout point $a\in V$, le groupe $\pi_1(V, a)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$. (Appliquer le théorème de van Kampen au recouvrement fermé de $\mathbf{R}^3$ formé des deux demi-espaces délimités par P; on peut aussi remarquer que les espaces U et V sont homéomorphes.)