Exercice 6, § 5

Soit X la droite numérique $\mathbf{R}$ et soit A une partie de X. Soit Y l’espace déduit de X par contraction de A en un point.

a) Si A est discret, le groupe de Poincaré de Y est un groupe libre.

b) Si A a un point d’accumulation, le groupe de Poincaré de Y a la puissance du continu et n’est pas libre.

c) Si A est l’adhérence de l’ensemble des points $1/n$, pour $n\in \mathbf{N}^*$, l’espace $X/A$ est homéomorphe à la boucle d’oreille hawaïenne.