Exercice 3, § 1

Pour toute partie A d’un espace topologique X, on pose $\alpha(A) = \overset{\circ}{A}$ et $\beta(A) = \overline{A}$. La relation $A \subset B$ entraîne $\alpha(A) \subset \alpha(B)$ et $\beta(A) \subset \beta(B)$.

a) Montrer que si A est ouvert, on a $A \subset \alpha(A)$ et que, si A est fermé, on a $\beta(A) \subset A$.

b) Déduire de a) que pour toute partie A de X, on a $\alpha(\alpha(A)) = \alpha(A)$ et $\beta(\beta(A)) = \beta(A)$.

c) Donner un exemple d’ensemble A (dans la droite numérique) tel que les sept ensembles $A, \overset{\circ}{A}, A, \alpha(A), \beta(A), \beta(\overline{A}), \alpha(\overset{\circ}{A})$ soient tous distincts et ne vérifient aucune relation d’inclusion autre que les suivantes: $\overset{\circ}{A} \subset A \subset \overline{A}, \overset{\circ}{A} \subset \alpha(\overset{\circ}{A}) \subset \beta(A) \subset \overline{A}, \overset{\circ}{A} \subset \alpha(A) \subset \beta(\overline{A}) \subset \overline{A}, \alpha(\overset{\circ}{A}) \subset \alpha(A), \beta(A) \subset \beta(\overline{A})$.

d) Montrer que si U et V sont deux ensembles ouverts tels que $U \cap V = \varnothing$, on a aussi $\alpha(U) \cap \alpha(V) = \varnothing$ (utiliser b)).