Bài tập 3, § 1

Nếu $A$ là một tập con bất kỳ của một không gian tôpô $X$, ký hiệu $\alpha(A)$ là $\overline{\dot{A}}$ và $\beta(A)$ là $\dot{A}$. Khi đó $A \subset B$ suy ra $\alpha(A) \subset \alpha(B)$ và $\beta(A) \subset \beta(B)$.

a) Chứng minh rằng nếu $A$ là mở thì $A \subset \alpha(A)$, và nếu $A$ là đóng thì $\beta(A) \subset A$.

b) Suy ra từ a) rằng nếu $A$ là một tập con bất kỳ của $X$, thì $\alpha(\alpha(A)) = \alpha(A)$ và $\beta(\beta(A)) = \beta(A)$.

c) Cho một ví dụ về một tập hợp $A$ (trên đường thẳng thực) sao cho bảy tập hợp $A, \mathring{A}, \overline{A}, \alpha(A), \beta(A), \beta(\overline{A}), \alpha(\mathring{A})$ đều phân biệt và không thỏa mãn quan hệ bao hàm nào ngoài các quan hệ sau: $\mathring{A} \subset A \subset \overline{A}, \mathring{A} \subset \alpha(\mathring{A}) \subset \beta(A) \subset \overline{A}, \mathring{A} \subset \alpha(A) \subset \beta(\overline{A}) \subset \overline{A}, \alpha(\mathring{A}) \subset \alpha(A), \beta(A) \subset \beta(\overline{A})$.

d) Chứng minh rằng nếu $U, V$ là hai tập hợp mở sao cho $U \cap V = \varnothing$, thì cũng có $\alpha(U) \cap \alpha(V) = \varnothing$ [dùng b)].