Exercice 5, § 1

Pour toute partie $A$ d’un espace topologique $X$, on désigne par $\mathrm{Fr}(A)$ la frontière de $A$.

a) Montrer que $\mathrm{Fr}(\overline{A}) \subset \mathrm{Fr}(A)$, $\mathrm{Fr}(\overset{\circ}{A}) \subset \mathrm{Fr}(A)$, et donner un exemple dans la droite numérique où ces trois ensembles sont distincts.

b) Soient $A, B$ deux parties de $X$; montrer que

et donner un exemple dans la droite numérique où ces ensembles sont distincts. Si $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$, montrer que $\mathrm{Fr}(A \cup B) = \mathrm{Fr}(A) \cup \mathrm{Fr}(B)$.

c) Si $A$ et $B$ sont ouverts dans $X$, montrer que

et donner un exemple dans la droite numérique où ces trois ensembles sont distincts.