Bài tập 5, § 1

Nếu $A$ là một tập con bất kỳ của một không gian tôpô $X$, biên của $A$ được ký hiệu là $\mathrm{Fr}(A)$.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{Fr}(\overline{A}) \subset \mathrm{Fr}(A), \mathrm{Fr}(\mathring{A}) \subset \mathrm{Fr}(A)$, và cho một ví dụ trên đường thẳng thực trong đó ba tập hợp này phân biệt.

b) Cho $A, B$ là hai tập con của $X$; chứng minh rằng

và cho một ví dụ trên đường thẳng thực trong đó các tập hợp này phân biệt. Nếu $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$, chứng minh rằng $\mathrm{Fr}(A \cup B) = \mathrm{Fr}(A) \cup \mathrm{Fr}(B)$.

c) Nếu $A$ và $B$ là các tập mở trong $X$, chứng minh rằng

và cho một ví dụ trên đường thẳng thực trong đó ba tập hợp này phân biệt.