Exercice 7, § 1

Étant donné un espace topologique $X$, on considère les cinq propriétés suivantes: $(\mathrm{D}_1)$ La topologie de $X$ possède une base dénombrable. $(\mathrm{D}_2)$ Il existe une partie dénombrable de $X$ partout dense. $(\mathrm{D}_3)$ Toute partie de $X$ dont tous les points sont isolés est dénombrable. $(\mathrm{D}_4)$ Tout ensemble de parties ouvertes non vides de $X$, deux à deux sans point commun, est dénombrable. $(\mathrm{D}_5)$ Si $\mathfrak{U}$ est un ensemble de parties ouvertes non vides de $X$ dont les adhérences sont deux à deux disjointes, alors $\mathfrak{U}$ est dénombrable.

Montrer que la propriété $(\mathrm{D}_1)$ entraîne $(\mathrm{D}_2)$ et $(\mathrm{D}_3)$, que chacune des deux propriétés $(\mathrm{D}_2)$ et $(\mathrm{D}_3)$ entraîne $(\mathrm{D}_4)$ et que $(\mathrm{D}_4)$ entraîne $(\mathrm{D}_5)$.