Bài tập 7, § 1

Xét bốn tính chất sau đây của một không gian tôpô đã cho $X$:

(D_I) Tôpô của $X$ có một cơ sở đếm được.

(D_{II}) $X$ có một tập con trù mật đếm được.

(D_{III}) Mọi tập con của $X$, mà mọi điểm của nó đều là cô lập, đều là đếm được.

(D_{IV}) Mọi tập hợp các tập con mở khác rỗng từng đôi một rời nhau của $X$ đều là đếm được.

Chứng minh rằng $(D_I)$ kéo theo $(D_{II})$ và $(D_{III})$, và rằng mỗi tính chất $(D_{II})$ và $(D_{III})$ kéo theo $(D_{IV})$ (*).