Exercice 9, § 1

Soient $X$ un ensemble, $M \mapsto \overline{M}$ une application de $\mathfrak{P}(X)$ dans lui-même telle que: $1^\circ \; \overline{\varnothing} = \varnothing$; $2^\circ$ pour tout $M \subset X$, $M \subset \overline{M}$; $3^\circ$ pour tout $M \subset X$, $\overline{\overline{M}} = \overline{M}$; $4^\circ$ quels que soient $M \subset X, N \subset X$, $\overline{M \cup N} = \overline{M} \cup \overline{N}$. Montrer qu’il existe sur $X$ une topologie et une seule telle que, pour tout $M \subset X$, $\overline{M}$ soit l’adhérence de $M$ pour cette topologie (on définira les ensembles fermés de cette topologie).