Exercice 19, § 10

Soient X un espace localement compact dénombrable à l’infini, R une relation d’équivalence dans X dont le graphe est fermé dans X × X. Montrer que X/R est séparé. (Soit $(U_n)$ un recouvrement de X formé d’ensembles ouverts relativement compacts, tels que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$. Soient A, B deux ensembles fermés sans point commun, saturés pour R. Définir par récurrence deux suites croissantes $(V_n), (W_n)$ d’ensembles fermés saturés pour R, telles que $V_n \cap W_n = \varnothing$ et que $V_n \cap \overline{U}_n$ (resp. $W_n \cap \overline{U}_n$) soit un voisinage de $A \cap \overline{U}_n$ (resp. $B \cap \overline{U}_n$) dans le sous-espace compact $\overline{U}_n$. On utilisera la prop. 8 de I, p. 78 et l’exerc. 16, ainsi que la prop. 3 de I, p. 61.)¹