Exercice 22, § 10

a) Soient X un espace accessible, $f : X \to Y$ une application continue fermée, telle que pour tout $y \in f(X)$, la frontière de $f^{-1}(y)$ dans X soit quasi-compacte. Pour tout $y \in f(X)$, soit $L(y)$ l’intérieur de $f^{-1}(y)$ dans X si la frontière de $f^{-1}(y)$ n’est pas vide, et le complémentaire dans $f^{-1}(y)$ d’un point de cet ensemble si la frontière de $f^{-1}(y)$ est vide. Montrer que si F est le complémentaire de la réunion des $L(y)$, la restriction de $f$ à F est une application propre de F dans Y.

b) Soient $X_i$ ($i = 1, 2$) deux espaces accessibles, $f_i : X_i \to Y_i$ deux applications continues, fermées et surjectives ($i = 1, 2$). On suppose de plus que pour tout $y_i \in Y_i$, la frontière de $f_i^{-1}(y_i)$ dans $X_i$ est quasi-compacte ($i = 1, 2$). Montrer que si

la bijection $(X_1 \times X_2)/R \to Y_1 \times Y_2$ associée à $f$ (E, II, p. 44) est un homéomorphisme (utiliser a)). Donner un exemple où $f_1 \times f_2$ n’est pas fermée.