Bài tập 22, § 10

(a) Cho X là một không gian khả tiếp cận, $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục đóng, sao cho với mọi $y \in f(X)$, biên của $f^{-1}(y)$ trong X là quasi-compact. Với mọi $y \in f(X)$, gọi $L(y)$ là phần trong của $f^{-1}(y)$ trong X nếu biên của $f^{-1}(y)$ không rỗng, và là phần bù trong $f^{-1}(y)$ của một điểm thuộc tập hợp này nếu biên của $f^{-1}(y)$ rỗng. Bây giờ chứng minh rằng nếu F là phần bù của hợp của các $L(y)$, thì hạn chế của $f$ trên F là một ánh xạ thực sự của F vào Y.

(b) Cho $X_i$ ($i = 1, 2$) là hai không gian khả tiếp cận, $f_i : X_i \to Y_i$ là hai ánh xạ liên tục, đóng và toàn ánh ($i = 1, 2$). Giả sử thêm rằng với mọi $y_i \in Y_i$, biên của $f_i^{-1}(y_i)$ trong $X_i$ là quasi-compact ($i = 1, 2$). Bây giờ chứng minh rằng nếu

song ánh $(X_1 \times X_2)/R \to Y_1 \times Y_2$ liên kết với $f$ (E, II, p. 44) là một đồng phôi (sử dụng (a)). Cho một ví dụ trong đó $f_1 \times f_2$ không đóng.