Exercice 23, § 10

Soient X et Y deux espaces localement compacts, f une application continue de X dans Y. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:

α) Tout point $y \in f(X)$ possède dans Y un voisinage compact V tel que $f^{-1}(V)$ soit compact. β) Tout point $y \in f(X)$ possède dans Y un voisinage ouvert T tel que l’application $f_T : f^{-1}(T) \to T$ qui coïncide avec f dans $f^{-1}(T)$ soit propre. γ) Le sous-espace $f(X)$ de Y est localement compact, et si j est l’injection canonique de $f(X)$ dans Y, f se factorise en $X \xrightarrow{g} f(X) \xrightarrow{j} Y$, où g est propre.